Como dissemos em aulas anteriores, um sistema mecânico é composto, a grosso modo, de massa, de mola e de amortecedor. Embora esses dois últimos podem não estar presentes na forma física.

Quando nos referimos a quantidade de matéria de um sistema, usamos o termo massa do sistema, este componente do sistema é único que sempre está presente de fato, ou seja, não existe sistema sem massa.

Essa massa pode estar executando um movimento de translação ou movimento de rotação ou ainda, os dois juntos.

Movimento de translação é aquele em que o corpo se desloca através de uma trajetória qualquer, enquanto movimento de rotação é aquele em que o corpo gira em torno do seu próprio eixo.

Assim como fizemos com as molas, também podemos associar as massas e a forma de associação irá depender do tipo de movimento, nessas situações, nos referimos a associação de massas quando o movimento é de translação e associação de inércia, quando o movimento é de rotação.

Para fazermos a associação de massas, temos que usar o método da energia equivalente, no caso, o somatório das energias cinéticas de cada massa do sistema é igual a energia cinética do sistema equivalente.

A energia cinética total é igual a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação.

Como exemplo, vamos imaginar um conjunto pinhão cremalheira, ilustrado na figura 01. O pinhão tem ao mesmo tempo, movimento de translação e movimento de rotação.

A energia cinética de translação é obtida pela expressão 0,5.m.v^2, enquanto a a energia cinética de rotação é obtida pela expressão 0,5.Jo.w^2, onde m é a massa, v é a velocidade, J é o momento de inércia polar e w é a velocidade angular (vide a fórmula completa na figura 01).

Basicamente podemos separar a associação de massa em dois tipos distintos, o primeiro quando as massas estão ligadas por meio de uma barra rígida e o segundo caso, quando as massas não estão interligadas.

Imaginemos que temos três massas ligadas por meio de uma barra (figura 02a) e queremos encontrar a massa equivalente para um grau de liberdade (01 GDL) conforme indicado na figura 02b.

Nesse sistema somente temos movimento de translação e como as massas estão interligadas, conseguimos fazer uma relação entre o movimento oscilatório da barra e a translação de cada uma das barras.

A primeira consideração que temos que fazer é que o movimento de vibração é pequeno. Consideramos movimento de vibração pequeno quando a oscilação angular não passa de 15 graus. Nessa situação o valor numérico do seno @ é praticamente igual ao próprio ângulo @ em radianos. Experimente fazer as contas numa calculadora.

Outra consequência de considerar um movimento de vibração pequeno é que podemos aproximar o movimento dos pontos A, B e C que são seguimentos de círculos como se fosse retas, conforme indicamos na figura 02c.

Como as massas estão presas por meio da barra OC, podemos obter uma relação entre os deslocamentos x1, x2 e x3, o ângulo @ e as distâncias L1, L2 e L3, conforme indicado nas equações (2) e (3) da figura 02, o seno foi eliminado na equação 2, pois temos ângulo pequeno.

Também podemos concluir que a velocidade angular das massas m1, m2, e m3 tem o mesmo valor (equação 4). Temos que a velocidade angular w é igual a velocidade tangencial v vezes o raio r (equação 5). Isolando w nessa fórmula chegamos a equação 6 que substituindo na equação 4, obtemos a equação 7. Como o raio r é equivalente a distância, substituindo, chegamos na equação 8.

Como queremos encontrar o sistema equivalente, temos que escolher um ponto de referência para colocar a massa equivalente. Este ponto pode ser qualquer um. Aqui vamos escolher o ponto A.

Neste caso, a velocidade da massa equivalente representada por x ponto (x ponto refere-se a derivada de 1a ordem do deslocamento x, notação comum, usada em cálculo) é igual a velocidade da massa m1. As demais velocidades devem ser representadas em relação a massa m1. Da equação 8 obtemos as equações 9A e 9B.

Calculando a energia cinética de cada massa e substituindo na equação do método da energia cinética (equação 10), note que neste caso, não temos massa de rotação. Assim chegamos nas equações 11, 12, 13 e 14.

Como temos 1/2 e x ponto ao quadrado em todos os membros da equação, podemos colocar em evidência e simplificar a equação 14 e obtermos a equação 15, correspondente a massa equivalente do sistema. Esse passos, estão indicados na figura 03.